2.3 电场中的导体、电容、电场屏蔽

第三小节我们介绍一下电场中的导体 电容以及电场屏蔽的概念 电场这个导体 什么叫做导体呢 就是拥有大量的自由电荷 或者说拥有大量的自由电子的 这样的一个物质 那么这些自由电子呢在电场的作用下 它能够自由的移动 那么这个就叫做导体 那如果我们这样一个导体把它放入 这比如这是一个导体 把这个导体放入到电场中 那会发生什么现象呢 首先由于电场 由于电荷是可以移动的 所以呢在电场的作用下 导体里面的电荷呢就向着两侧移动 那么移动后呢就使得 导体内部的电场强度恒为零 因为如果导体内部的电场强度不是零的话 那么电荷就会移动 那么一直移动到 内部的电场强度为零为止 那么我们可以这个来理解 导体内部的电场强度为什么是零呢 一个是外部电场 那么再一个呢由于导体内部电荷的移动 使得感应的电荷呢 在导体内部造成另外一个电场 就是 E' 这个电场 那么这两个电场互相抵消后就会等于0 所以 E0 是外部电场 E' 是导体表面电荷产生的内部电场 两个电场的叠加它就是等于0 所以导体内部的电场强度它一定是零的 第二个导体是等位面 导体本身是一个等位体 因为它里面没有电场强度 所以呢它的导体就是等位体 它的整个表面就是一个等位面 如果它不是等位面的话 电荷就会沿着表面在移动 第三 电场强度总是垂直于导体表面的 因为没有横向的 沿着导体表面没有横向的 或者说没有切线方向的电场强度 它只有垂直方向的电场强度 如果有切线方向的话 那么这个电荷就会移动 那为什么有切线方向呢 因为切线方向电荷 不能从导体里面跑到外面来 所以呢它只能有垂直分量的电荷 使它就所有电荷呢都集聚在这个表面 那么所以说电荷它只分布在导体的表面 这是导体放到电场以后它的一些特性 那我们来看看电容的概念 就是电容及其计算方法 电容什么意思呢 是指在给定电位差下 两个电介质隔离导体所感应出的电荷量 它们两个是隔离的 不是联通的 联通的话就等电位了 所以它是指在给定电位下 两个电介质隔离导体 所感应出的电荷量 那么如果这个电荷量是Q的话 那么它除以它们之间的电位差就是电容 所以对于线性媒质 电容它只与导体的几何形状 尺寸相互位置以及导体周围的介质有关 跟电压无关 电压高了它电荷就多了 所以它就用什么 单位电压所感应出来的电荷量 来定义我的一个电容 是吧那这个很理解 那么电容怎么去计算呢 有两种方法 反正就是算电压跟电荷了 两个除一下 那么如果我们假设一个电荷Q 假设导体上有电荷Q 那么我们就可以根据库仑定律 或者根据通量定理来得到电场强度E 然后再通过积分 就得到两个导体间的电位差U 那么有了Q有个U 我们就可以算出电容C来了 那么方法二什么呢 是假定电压一致了 也就我的电位一致了 那么这时候呢我就根据电场的电位方程 来算出 E　的分布 然后从 E 呢就可以得到电通量 乘上它的介电常数 得到我的电通量 那么电通量的积分 就可以得到电荷 所以电荷除上U就是我的电容 这是计算电容量最基本的方法 那么我们来举个例子 举个简单的一个例子 大家来熟悉一下 就是两根导体 它们之间的距离为 D 导体的线径为 d 那么它满足 d< 这样的情况 它的中间的介质的介电常数是ε 那么我们来计算一下 它们两者之间的电容量 就是两根平行导线 它们之间的电容量是多少 那么由于这个 d< 所以我们可以假设 上面的感应电荷的线密度呢 都是集中在导体的圆心 这样误差就很小 那么我们设先设一个电荷 那么对于二维场 我们就认为它是电荷的密度 就设单位长度的电荷为 λ 那么根据这个 λ 电荷 我们可以算出在这条线上 电场强度的大小 因为在这条线上 电场只有这个分量 所以呢它分别是正λ产生的电荷 产生的电场强度 再加上负λ所产生的电场的强度 那么它就等于这样一个式子 X 就是这个的距离 到这个的距离 X 那么 D-X 就是负电荷到这个的距离 那么我们的电压等于什么呢 电压就等于电场强度的积分 那从哪里积到哪里呢 因为导体表面导体的内部是没有电场的 所以呢它只能从导体的表面开始积分 也就是说从这一点积到这一点 这一点是什么呢 这点就是 D/2 对吧 如果以这一点作为零坐标的话 这就是 D/2 那么一直积分积到这一点 这点什么呢 这是 D 再减掉 D/2 就是这一点 那么把这个 X 带进来 那么我们就可以计算出来 它是等于这样的一个式子的 这样这样一个式子的 那么通过这个呢得到了 λ 得到了 u 以后 它们两个相除得到电容 所以电容是等于这个东西 如果 D 的距离越远 这个电容就越小 线径越细这个电容呢越小 这是一个已知电荷算电压 然后算电容的思路 那么同样我们以一个平板电容为例 设平板上的电压为 U 这两个平板电容它们的电压为 U 那么如果我们忽略它的边缘效应 也就是说这个边缘的这部分磁场 电场把它忽略掉 那么就可以得到它里面的电场强度 势等于U/D D就是板间的距离 那么就可以得到 D=εE ε就是板间的介质的介电常数 那么得到 E 以后呢我们得到 Q Q 是什么呢 Q 是电通量的积分 这个 S 是电容器极板的面积 那么就得到一个总电荷量 那么电容呢就是电荷除上电压 那么算出来就等于这个东西 那么这就是我们讲 平板电容器的基本的计算公式 那我们再来看看电场的能量 电场的能量什么意思呢 也就是说我们如果在一个平板电容器上 把所有的电荷从原来的没有带电情况 把电荷就把它移上去 把负电荷把正电荷全部把它移上去 那么这时候我外力所需要做的功 那就等于我这个平板电容器 它所储存的能量 所以说 dq 电荷这个 dq 电荷 从极板间移动到电位 U 它们两个电位是 U 所做的功 dW 是等于 U 乘上 dq U又等于q除以C对吧 因为电荷不一样 它的电压就不一样 C 是一样的 C 是固定的 C 跟电压无关 就在这东西 我们全部电荷 q 移动完成后 极板间所聚的能量是等于什么呢 W 就等于 0 电荷 dq 电荷 从原来都没有的零 积到所有的电荷 q 就得到这样的一个式子 就是 dW 的一个积分 那么计算出来等于 1/2CU平方 那也就是说我一个电容 如果它的电压是 U 的话 它的储存的能量就是1/2CU平方 那么把这个能量呢 我们进一步 这个 C = εS/d U = Ed 进一步整理出来 就等于 1EDV/2 这个 V 是什么呢 V 是 Sd 也就是我的极板电容中间的体积 那么我的总能量除上它的体积 就等于 1ED/2 那么这个呢就把它叫做电场的能量密度 所以从这个电场的能量概念来看 我们也可以从这个式子上来计算电容 那也就是说我如果能够把这个系统 它的电场所储存的电场能量W算出来 那么我们代入这个式子 就可以算出电容了 所以呢这个呢就给我们提供了 另外一个方法 是通过电场的能量来计算电容的 这是提供另一个方法 除了前面的那个办法 得到电荷电压然后除一除 那么我们也可以通过电场能量 这个能量等于什么呢 能量就等于 1ED/2 的 沿着它整个体积的一个积分来得到 那我们再来看看一个多导体系统 如果一个静电系统它里面有多个导体 那么它就存在着多个电容 首先我们定义这个概念 一个是自由电容 我们这里有三个导体 导体一 导体二 导体零 那么这个零呢我们就代表大地 就比如说那开关电源里面的机壳 它是接到大地去的 那么大地呢又是一个导体 它的电位把它定义成零 那么自由电容什么意思呢 这里面 C11 这个电容 就是第一个导体的自由电容它 第一导体它对零点对大地的一个电容 那么 C22 呢是第二个导体 它对大地的电容 就是它自己本身所具有的电容 叫做 C11 C22 那么还有一个叫做叫做等值电容 那就是什么意思呢 就是比如说 C12 C12 那么C12之间的总的电容等于什么呢 它是等于这几个电容的串并联 也等于 C12 再加上C11跟C22的串联 那么电容的串联是这个这样一个式子 所以呢它的总的等值电容 C12 叫做等效电容是等于这个式子 那么我们再来看一个概念 叫做部分电容 它也叫做 C12 但是它又不是等值了 我们从这边来看 C12 两个导体 12 两个导体之间的电容 它实际上是包含了 C12 以及这部分电容 所以 C12 它只是什么 只是 1 号与 2 号导体之间 等值电容的一个部分 它只是一部分 它除了 C12 以外 还有这一部分是它只是它的一部分 所以我们把它称之为 导体 1 跟导体 2 之间的部分电容 这三个概念大家把它分清楚 再一个呢就是工作电容 也就是说在特定的某一种工作状态下 两个导体之间的电容 也就是说如果我 φ10 给定 或者 φ20 给定 或者说如果我 φ20 把它接到地里去了 就说 φ20 是接地的 它的电位被我强迫成零了 那么这时候呢它的电容 一个电容就是 C12+ C11 是吧 那这就保持在某一种特定的条件下 两个导体的之间的电容叫做工作电容 那么从这个来看 因为有三个导体 那么我们就能知道 导体 1 的电位 φ10 会在导体 2 上感应出电位φ2 如果我这上面有一个电位 那么在 φ2 上面会不会产生 在导体 2 上会不会产生电位呢 很明显会 为什么 因为它通过这两个电容 来分压是吧 把 φ1 的电位 通过这两个电容耦合到 φ20 来 它就通过这个部分电容 C12 把它耦合到 φ20 来 那么这时候 φ20 电位等于什么呢 就等于两个电容的分压 那么这就是我们讲 叫做静电感应的基本概念 虽然我 φ20 没有电位 没有给它强迫上电位 没有外加一个电压给它 但是呢它通过跟 φ10 的耦合电容 以及跟地的耦合电容 它就会感应出电位 那我们再来看看电场屏蔽的概念 经常屏蔽什么意思呢 就是把我的导体 跟外部的电场把它隔离开来 那么它分成屏蔽外部电场 也叫做外屏蔽 比如说空腔导体 当然也不是说完全是闭合的一个面 也可以是一个网状的面 它可以屏蔽外部电场 这是一个导体 它可以屏蔽外部电场 为什么呢 因为导体是等电位的 前面我们讲过 电场的导体它一定是等电位的 那么既然你是等电位的 你又是一个封闭的空腔 所以呢在空腔内部呢 在空腔上全部都是一样的电位 所以在空腔内部呢 也就没有电位差了 所以呢在空腔内部的电场强度为零 那比如说这里一个外电场 我有一个空腔闭合的一个导体 把它放到电场里面去 那么这时候呢 由于整个闭合导体的电位都是固定的 所以呢它内部呢就没有电场强度 但是这个电位不见得是零 它只要电位是一样的 因为电场强度是电位的梯度 它没梯度就没有电场强度 所以呢这是可以拿来 屏蔽外部的电场这个外屏蔽 那么还有一个情况呢是屏蔽内部的电场 就是把我内部的电位的变化呢 让它不影响到我外部去 比如说这是两个导体一跟二 那么我再一周围呢 把它包上一个绝缘 一个屏蔽层 包上这个屏蔽层 那么这时候呢就变成有四个导体了 一个是一 一个是二 还有一个是屏蔽体三 还有一个是大地四 那这时候如果我电位一 导体的电位一在变化 那么它会不会造成我φ20的电位的变化呢 会的 因为 10 变化以后 它通过一跟三的感应电荷 这个部分电容 让三的电位在变化 那么三个电位变化呢 又通过 C32 在 2 上面产生出电位差 产生出电位变化 所以呢它的 φ20 并不会等于0 就是因为这个道理是吧 因为红的这个屏蔽体三呢 它的电位是浮动的 是变化的 那么从电力线上看 你看到一的电位变化就会产生电力线 让三上面有电位 那么三上面有电位有电荷 它就会产生电力线 那么就会感应到我的二上面来 使得二上面有电位差 那么怎么做到一的变化 不会影响到我二的电位变化 那这时候呢就要用接地 也就是要把三这个屏蔽体呢把它接地 它一旦接地以后 那么它的电位呢就固定住了 就不受 φ10 的电位变化的影响 那就是这张图 这时候呢一旦三接地以后 那么一的产生在电荷全部被三导体感应 那么三呢又是接地的 这个电荷呢就都通过这个回到大地去了 所以呢在外部它就没有电位 所以 φ20 呢它就会等于0 那么从这个图上大家也能看到 从这个电容的等效图上大家也能看到 一旦我三这个电位是零 这个电位如果是零 那么这个导体的电位就是零 那么这个是零 通过这两个电荷 通过这两个电容 感应给 φ20 的肯定也是零 因为你本身电位已经是零了 所以说如果屏蔽体即使你是封闭空腔 你如果没有接地的话 其电位是会被内部的电位导体所感应的 它是会感应的 所以不能屏蔽带电体对外部的影响 这是一个带电体 没接地 它就还会在外部导体上感应出电荷 感应出电位 所以说但是呢如果屏蔽体接地了 其电位就被固定为零电位了 固定为零电位了 所以呢可以用这个屏蔽带电体 所以可以它就可以屏蔽 带电体对外部的影响 那么这种屏蔽呢叫做全屏蔽 所以说在我们电力电子里面 电场屏蔽都要接地 没接地的话呢 就失去了它的屏蔽的意义 因为如果你一个导体没接地 它的电位是会跟着在变化 会随时在变化 就是这样一个道理