高速数据转换器信号处理：真实和复杂的调制

大家好，歡迎觀看此簡報，探討 實數和複數調變。 在這支影片中，我們會先介紹 何謂調變、以及一些常見的調變類型。 然後，我們會深入研究相位和振幅調變、 及其背後的數學，以介紹 實數和複數調變的概念。 最後，我們會探討複數調變的應用， 並提出範例来与概念連結。 首先探討基本調變。 調變是改變載波訊號屬性 的行為，例如振幅、相位或頻率， 以受控制的方式在通過通道傳輸資料、 或取得所需的訊號屬性。 這裡示範的是數位通訊的過程 系統提供連接埠保護. 位元序列控制調變器。 調變器回應各個位元或位元序列， 以特定方式調變訊號 來代表這些位元。 訊號在通道上傳輸， 通道可能是同軸纜線、無線通道 或光纖。 傳輸後，經過調變的訊號 會被解調，以識別 傳輸的位元。 有許多類型的調變技術 可被使用。 各種類型的調變實現不同的取捨， 包括頻譜效率、複雜性、功率效率、 雜訊容限等方面。 這裡提供一些最常用的 調變類型。 脈衝振幅調變，稱為 PAM， 只調變載波振幅。 PAM 可能也包括負振幅 ，這可視為180 度的相移。 例如，二階PAM，通常稱為 二元相移鍵控或 BPSK， 通常用於序列化介面， 例如 gigabit 乙太網路。 當然，最為人熟知的類比振幅調變， 是用於 AM無線電傳輸。 相移鍵控或 PSK只調變載波 相位，造成恆定的載波包絡， 達到良好的功率效率。 PSK 具有良好的雜訊容限，在通道具有 低訊號雜訊比時用於 LTE 網路， 以達到足夠的位元錯誤率。 正交振幅調變，稱為 QAM， 調變載波相位和振幅， 允許使用大量的符號， 以大幅提高頻譜效率， 代價是功率效率降低、以及 雜訊要求更為嚴苛。 它是現在最常用的調變類型之一。 256 符號 QAM 用於DOCSIS 3.0 纜線系統， 在低雜訊通道上達到高資料速率。 頻率調變會調變載波頻率。 在數位通訊中，離散頻率 被選為符號，分別代表 一個位元序列。 其他範例包括FM 收音機， 以及線性頻率調變或 LFM。 LFM 是載波頻率的連續線性掃描。 LFM 通常不用於資料傳輸。 但它用於雷達系統 以實現脈衝壓縮， 提高空間解析度以識別 間隔緊密的目標。 接下來，介紹基本相位和振幅調變 背後的數學。 這是一个被廣泛使用的很好的例子， 例如正交振幅 調變或 QAM。 此基本分析可用於 上一張投影片中所有的調變類型。 它也可以讓我們示範實數和複數 調變. 首先，經過相位和振幅調變的載波， 如此處所示， 餘弦項作為載波， 振幅調變量為 aof t，相位調變量為 theta t。 載波頻率以 f sub c 表示。 利用角度總和三角恆等式， 可讓我們將 x of t分解成正弦和餘弦 載波，每個載波的振幅調變量 為 a of t，相位調變量為 相位調變函數theta t 各自的正弦和餘弦。 然後，我們可針對各個載波函數重新定義 振幅和相位調變，稱為 x sub i of t 和 x sub q of t。 這些調變函數通常簡稱為 I 和 Q。i 是同相調變函數， q 是正交相位調變函數。 正交項來自正弦和餘弦， 彼此異相90 度。 現在有了這種形式的 x of t，表示真實世界 傳輸的訊號。 I 和 Q調變函數 都是實值函數，表示它們不 包含虛數部分。 因此，x of t 是實值函數， 符合真實世界傳輸的要求。 然而，此函數實際上可以 代表實數和複數調變。 快速說明一下，這個傳輸訊號 通常稱為帶通訊號， 因為它佔用載波頻率的部分頻寬。 換句話說，I 和 Q 函數 調變載波訊號。 帶通訊號可以分解 成低通調變函數，乘以 複指數載波。 「低通」一詞是指訊號居中於 DC，又稱為基頻。 這個新的基頻調變函數 X sub bb of t， 由 I 和 Q 實值調變函數組成， 其中 Q 表示複數分量。 我們可以看出，若 f sub q of t 等於 0， 則 X sub bb of t是實值函數。 若 X sub bb oft 是實值函數， 則結果是實數調變。 或者，如果 x sub q oft 不等於零， 則是複數訊號，造成複數調變。 我們現在可以將這個新的複數基頻調變 函數與實值帶通傳輸訊號 相關聯，如此處所示。 求出 x of t 的方式是將 X sub bb of t 乘以 複指數，頻率等於載波 頻率，取此結果的實數部分。 我們將這種形式的傳輸訊號稱為 分析當量，因為主要目的是 分析調變。 使用歐拉公式和X sub bb of t 的定義， 很容易看出x of t 的定義， 等同於先前的定義。 請嘗試自行證明此相等性。 基本上，X subbb of t 是 隨時間變化的複數， 由 I 和 Q調變函數控制。 請記住，I 和 Q都是實值函數， 而 X sub bb of t在 q 函數不等於零 的情況下是複數。 接下來，將示範 使用複數調變取代實數調變的好處。 這是實數調變的例子， 取餘弦波並將它轉換 成更高的頻率。 我們通常將此過程稱為混合， 但它可被視為調變一個正弦 波與另一個正弦波。 在此情況下，基頻調變函數 是餘弦波，所有時間值皆為實值。 換句話說，q 分量為零。 基頻餘弦波的頻率 是 f sub IF，其中 IF 代表中頻。 使用歐拉的餘弦關係， 我們可以將餘弦波描述為兩個 複指數的總和。 將這插入x of t 的分析定義， 結合指數功率，然後使用歐拉公式， 我們可以看到產生的調變訊號， 是載波頻率加上和減去 IF 頻率後， 兩個餘弦波的總和。 然而，通常只需要其中一個訊號， 不需要的訊號稱為影像， 必須被過濾掉。 解決此問題的方式之一是使用複數調變。 所以考慮相同情況，但改用複數 調變。 這裡的基頻調變函數 是複指數，而不 只是實值餘弦波。 再次使用歐拉公式，我們可以看到複指數， 只是餘弦和正弦的總和，正弦項 乘以 j。 因此，同相調變函數或 I 是餘弦波，正交相位調變 函數或 q 是正弦波。 將這個複數基頻函數 插入至 x of t的分析定義， 結合指數功率，並將歐拉的結果 用於最終調變訊號。 虛數正弦部分被實數部分函數移除。 功能/函數. 這個新的調變訊號，只包含 所需訊號，影像訊號 被減弱或拒絕。 讓我們嘗試在頻域中，呈現這個 範例。 在實數混合情況下，首先要知道 的是實數訊號，例如餘弦波， 已反映正負頻譜。 負頻率在真實世界中不存在， 但在分析世界中是存在的。 實數調變訊號也是如此， 如形狀所示。 請注意，正負頻譜 看起來相同。 此訊號被混合至較高的頻率時， 正負頻譜都會 被混合至載波頻率。 我們將載波頻率的兩側稱為 下邊帶和上邊帶。 在此情況下，上下邊帶 包含相同的資訊，效率不高。 此情況稱為雙 邊帶、或 DSB傳輸，這是 實數調變的結果。 如果我們現在看看複數混合情況， 使用複指數作為基頻訊號， 我們可以看到，複數正弦曲線只 存在於正頻率空間， 負像消失。 我也可以將複指數 定義成負頻率，表示 它存在於負頻率空間，而不是 正頻率空間。 這表示正頻率 空間與負頻率空間分開。 如此形狀所示，複數調變訊號 可在兩個邊帶中包含 不同的資訊。 將它與複數正弦曲線混合， 並取實數部分後， 載波訊號的上下邊帶 現在是獨立的。 這稱為單邊帶傳輸或 SSB， 因為兩個邊帶可以傳輸唯一的資訊。 主要好處是這樣 可以傳輸兩倍的資訊， 而頻寬與實數傳輸相同。 我們已瞭解複數調變背後的基本數學， 接下來探討兩個主要用途。 第一，複數調變的概念， 用於影像拒絕混合器， 其中實數混合產生所需的 訊號、和不需要的影像訊號，後者 必須被過濾掉。 使用複數調變允許固有的拒絕 影像訊號，如複數混合範例所示。 拒絕影像訊號可緩和混合器之後的 類比濾波器要求。 類比混合器因為缺陷，而無法實現 完美的拒絕。 然而，即使影像訊號功率降低 20 dB，也可以大幅緩和 濾波器要求。 第二，複數調變廣泛 用於數位通訊，以便 將特定訊號頻寬的資料速率加倍。 如此可提高頻譜效率，這在 頻寬受限制時很重要，例如無線通訊。 資料速率可以加倍， 因為正弦和餘弦是正交函數， 可以分離I 和 Q 分量。 由於 I 和 Q 可以分離，它們 可以包含不同的資訊。 讓我們進一步檢視這個使用案例。 數位通訊使用離散的 I 和 Q 值 形成符號。 呈現複數符號的常用方法， 是使用星座圖， 例如這個16 QAM 的範例圖。 圖將符號對映至複數平面上。 x 軸表示實數 I 分量的 量值，y 軸則表示虛數 Q 分量的量值。 各符號分別對映至一個位元序列， 以傳輸資訊。 在範例圖中，位元序列 1011 對映 右下角符號，以 最大正 I 值和最小負 Q 值表示。 從原點到符號的距離， 表示調變載波振幅， 可利用畢氏定理計算。 調變載波的相位， 是從正 I 軸到符號的角度， 可利用 q over i的反正切計算。 現在，讓我們試著找出 星座圖所示內容與 之前所示的傳輸訊號定義之間的關係。 先看之前所示的16 QAM 星座圖。 假設我們要透過通道 在載波頻率 f subc 下進行傳輸，要傳送的位元是 0011. 從圖中可以看到位元 0011 被分配到 複數平面右下象限的 左下角符號。 此符號對應的 I 值和Q 值，分別為 1 和負 3。 所以基頻調變函數就是 1 減去 j3。 現在我們可以使用上一張投影片 的公式，計算載波振幅和相位。 我們發現振幅是 10 的平方根， 相位是負 1.25 弧度。 現在我們可以用兩種方式產生調變訊號。 我們可以用算出的振幅 和相位設定餘弦波的振幅和相位， 如上方公式所示。 或者，也可以使用直接來自星座圖 的 I 值和 Q 值，設定獨立 餘弦和正弦項的相對振幅， 如下方公式所示。 產生的訊號相同。 然而，第二種方法是常用的方法， 因為較容易應用於數位處理器或 FPGA。 以下是各種調變方式 的星座圖。 第一個是正交相移鍵控 或 QPSK，有四個符號， 複數平面的每個象限各一。 第二個是八符號相移鍵控 或 8PSK，有八個符號 相隔 45 度。 第三個是 32QAM， 不形成完全平方，因為 32 的平方根 不是整數。 方形的四個角 被移除，稍微提高功率效率， 並允許將五個位元對映至每個符號。 最後一個是 1,024 QAM，這是緊密的星座， 將 10 個位元對映至每個符號，大幅提高資料 速率。 顯然，因為符號密集，較密集的星座需要 較好的雜訊和失真性能，以便 達到相同的 位元錯誤率。 然而，符號之間間距較大的星座， 每個符號傳送的位元較少，因此 資料速率較低。 許多系統都能隨著通道條件 改善或惡化，而即時變更星座 以實現最大資料速率，達到所需的 位元錯誤率。 本影片內容至此結束。