Current Mode小信号模型及环路分析

接下来我为大家讲解一下 电流模式的小信号模型 小信号模型其实就是 通过数学公式推算出来的一种数学模型 通过数学模型 我们可以求导出其状态方程 通过状态方程 我们可以分析电流模式的环路稳定性 因为我前面提到我的控制电流 是用来控制电感电流的 最终使得我的电感电流是跟随受控电流 所以如果排除谐波补偿和电感电流纹波的话 那其实电流控制信号是等同于电感电流的 首先我们先看一下简化的 电流模式的控制模型 右边是一个电阻的分压网络 它其实就是把输出电压通过电阻分压 乘以个小电压信号 和内部的参考电压去做比较 所以它这边对应的 其实是一个电阻分压的比例系数 我们称作为H 它其实就是等于R3除以一个R2加R3 这样一个值 接下去就是我们误差放大器 其实它就是一个带反馈补偿的 一个误差放大器 其实严格意义上说 这一块其实是一个扩大放大器 它其实就是把输入电压信号 去变成一个输出电流信号 然后再去和补偿网络再形成一个电压信号 所以我们这边看我们叫 Tcomp 所以我们可以看到它的传递函数的方程式 其实就是我的扩大系数去乘上 我输出补偿的一个阻抗值 形成了控制电压信号以后接下去就是 控制电流环 因为电流模式里面其实是包了一个电流环 它是通过检测电感上面的电流 然后通过内部的放大器去转成电压信号 所以说我们这边有一个电流转电压的 一个 I/V Gain 在这里 所以说 从简单意义上来看的话 其实就是反馈端输出的一个控制电压信号 去控制内部的一个恒流源的电流值 所以说我们可以看到在这里 电感是放在电流环里面 所以电感可以等效成简单的一个恒流源 所以这样的话 输出阻抗就非常简单了 输出阻抗其实就是输出电容和 负载的一个并联值 所以输出阻抗就比较简单 它就等于电容的容抗 去串上电容上面的 ESR 再去比上负载电阻 这样就形成一阶的一个输出阻抗 所以从简化上的电流模型来看的话 它其实就是一个简单的一个一阶的传递函数 我们把刚才的电流模型转换成这种流程框图 我们可以依次看到不同的框图里面 对应不同的状态方程 对于整个闭环的状态方程来讲的话 其实就是等同于这几个状态方程的乘积 所以我们可以去得到 如下的一个闭环系统的传递函数 它其实就是等同于 这几个传递函数的乘积 所以我们可以得到如下的一个总的传递函数 我们来看一下 闭环系统的一个总的传递函数是什么样子的 Giv 和 Gm 这两个是 芯片内部所固定的两个放大倍数 用户是没有办法去改变的 它是固化在芯片设计里面的 Giv 其实就是 电流采样到电压的一个放大倍数 Gm 就是反馈误差放大器的一个放大倍数 所以这两个用户是没有办法去改变的 它其实就是固定的一个系数而已 R2 R3 就是输出电压的反馈端的比例系数 这两个一般是通过输出多少电压 来设定好的两个反馈电阻 Resr 和 C0 这两个值其实跟你选的 输出电容是有关系的 你输出的电容的容值是多少 然后对应的这颗电容的 esr 是多少 这也是客户来选定的 RL 就是负载 负载是根据输出电流和输出电压的 比值而得到的 如果输出是 5V 1A 的话 那我的负载就是 5 欧姆了 所以这几个都是跟系统有关系的 R1 和 C1 这两个就是在 comp 端上面补偿的 一个电阻值和电容值 这两个基本上就是我们用户可以通过 这两个值的设定来去改变我的补偿网络 也就是说白了 我可以去改变我的状态方程 通过刚才的闭环系统的传递函数 我们可以通过它去做一些什么计算呢 首先我们可以通过它去计算出 我们的穿越频率 那我们先看几个条件 第一个就是说 一般来说 负载是远远大于电阻的 esr 的 因为电阻的 esr 一般都是在毫欧级的 所以负载电阻一般是往往是要远大于它的 那其次呢 就是看穿越频率和零点之间的一个关系 为了保证一定的相位裕度呢 所以说一般零点要远远小于穿越频率的 这样的话才能保证在穿越频率的时候 相位裕量能达到45度到90度的一个裕度 所以在这两个条件成立以后 我们首先来看我们的 补偿网络的传递函数 因为是在穿越频率 所以我们把 s 等于 2πfc 因为前面说到了 fc 是远大于 fz 的 所以我的 C1R1 分之一 其实就是等于 2πfz 的 所以说 2πfc 要远大于 2πfz 的 所以说这一项就可以等效成零 可以忽略 所以说 整个传递函数可以约等于 R1 值 我们再看一下输出阻抗的传递函数 同样地 我们把 s 等效成 2πfc 我们把这个公式进行了简化 所以可以得到这个公式 因为 RL 是远大于 Resr 的 所以我可以把这一个公式再次简化成 2πfc 乘以 C0 分之一 这样的话整个传递函数基本上 就可以等效成如下这个公式 因为在穿越频率时候 它的增益值是 0dB 也就是等于 1 所以说我可以得到如下这个等式 那最后我可以得到如下 R1 等于这个公式 通过这个公式我基本上可以通过 R1 来去决定我的穿越频率 同时呢我也可以通过我的穿越频率 来决定我的 R1 值 所以说整个公式的推导 它其实关键是 用来得出通过 R1 来设定我的穿越频率的值 接下来我们看一下如何去建模 其实建模呢就是把电路中的 非线性的开关部分通过数学变换 等效为线性电路 这样呢我们通过线性电路 就可以推导出整个系统中 不同部分的传递函数 通过传递函数我们就可以绘制出 系统的波特图 了解系统的稳定性 这样我们可以通过增加不同的补偿网络 来稳定系统 首先我们看一下 这三种拓扑的 DC-DC 其中虚线部分就是我们所说的 非线性的开关部分 其实这个开关主要分三个节点 这是比较有名的三端口网络 这是比较有名的三端口网络 首先 A 端是主动开关部分的节点 C 端是公共部分 也就是主动和被动部分的公共节点 P 端其实就是被动部分的节点 所以我们可以看到 在不同的拓扑结构下 它的三端口的节点分布也是不一样的 接下去 我们再讲一下如何去 建模平均电压 从右上角这个图我们可以看到 iin 就是我的输入电流 iL 就是我的电感电流 VQ2 其实就是 VPH 的电压 我们可以看到 当我开关导通的时候 我的 Iin 是随电感电流一样呈上升趋势 当我开关关断的时候 电流回路是通过二极管和电感 此时我的 Iin 是没有电流的 所以我们可以看出 Iin 其实就是我的电感上升时候的电流 这是电感电流的波形 这是 VPH 的波形 所以如果我们要计算 iin 的平均电流 其实我们可以通过平均电流的定义 也就是说 我们可以通过谷底电流和峰值电流的 对时间的积分来求出 我们可以通过能量平衡定理 来得出 Iv 到 Ip 对时间的积分 其实就是等同于平均电流在整个时间内的积分 其实就是等同于平均电流在整个时间内的积分 通过这个道理 我们可以很容易地去推算出 左边的这个公式 也就是说我的平均电流 就是峰值电流加上谷底电流 除以 2 乘以占空比 那峰值电流加谷底电流除以 2 其实就是电感的平均电流 所以我们可以得到 我的输入电流的平均电流 就是占空比去乘以电感平均电流 同样的道理 当我的开关在导通的时候 VPH 其实就是 Vin 电压 当开关关断的时候 二极管进行续流导通 VPH 电压就是零 所以 一样的道理 我们可以求出 VPH 的平均电压 其实就是 Vin 电压去乘以占空比 所以通过这两个公式 我们可以用一个电压模型来等效 其实电压模型它就是一个 1:d 的一个匝比的一个电压 VPH 就是 Vin 的 d 倍 然后 Vin 电流 就是 iL电流的 d 分之一倍 所以我们可以很容易地用一个电感模型 来去等效这部分的开关 但我们要提一点 这所有的计算都是基于 CCM 模式 我们刚才推导的是 直流分量部分的建模 那我们现在开始加入交流扰动部分 因为我们知道对于一个 DC-DC 系统来说 由于我的输入电压 或者说我的输出负载等等一些客观条件 或者说我的输出负载等等一些客观条件 会导致我的系统会引入扰动 而这个扰动会导致我的 Vin iin d iL VPH 都会有扰动 那这样的话 我需要把我的小信号的扰动 也考虑到我的计算范围内 所以我们可以看到 在刚才的输入电压 输入电流 占空比 电感电流 和 VPH 电压都需要加上各自的扰动部分 通过刚才两章的公式 我们可以把这些公式整合起来 最终我们可以得到下面两个小信号的 就是输入电流的小信号 就等于直流电感去乘以占空比的扰动 加上直流占空比去乘以电感电流的扰动 那同样的 我也可以得出 VPH 电压的扰动 等于直流输入电压 去乘以占空比的扰动 加上直流占空比 去乘以输入电压的扰动 那通过这个公式 我就可以等效成 右边这个模型 也就是说 我可以通过这两个公式 我可以等效成右边的这个电路 也就是说输入电流的扰动 其实它就是 一个恒流源去加上变压器的原边 同样的 对于我输出 所以通过这两个公式 我们可以得出右边的等效电路模型 对于输入的 Vin 扰动来说 它其实就是一个恒流源 加上并联变压器的一个原边 对于输出来说 其实就是一个恒压源 去串联变压器的副边 这个模型的核心 就是这两个推导出来的公式 通过刚才小信号的建模 我们可以把这部分非线性的 开关电路去等效成如下模型 通过这个模型 我们可以去求输入到输出的 传递函数或者说是从 控制端到输出的传递函数 也可以去算它的输出阻抗 当然 这只是驱动极的部分 当然 这只是驱动极的部分 当然 这只是开环的驱动极模型 它还不包括电压环和电流环 举个例子 我们可以通过这个模型 可以求出输出到输入的传递函数 通过这个传递函数 我们可以算出它的开环增益 它的零极点 它的 Q 值 等等 接下来我们讨论一下 为什么要添加电流斜坡补偿 如果当一个电感工作在稳定的状态中 通过伏秒平衡 我们可以看下这根曲线 它的电流上升一定是等于它的电流下降 整个电感电流波形它是恒定地 工作在这个稳定的区域内的 如果我不加斜坡补偿的话 此时由于负载的扰动 使初始值又增加了一个电感的偏置电流 如果由于我的负载扰动 使我电感电流的初始值 又叠加了一个偏移量 ΔiL 那我们可以去看一下 通过右边这个公式 我们可以去计算出 所以可以通过右边这个公式 我们可以得出 初始的扰动量和我第一个周期的 扰动量对应的关系 m1 就是电感电流上升时候的斜率 m2 就是电感电流下降时候的斜率 下面我们可以计算出一个公式就是 当我在第一个周期之后的一个扰动量 和我初始值的一个扰动量的关系 这里的 D 就是占空比 D’就是 1-D 也就是说是 Ton 去除以 Toff 我们对刚才那个公式进行继续推算 当我在 n 个周期以后的一个 电流扰动量是等于我的初始值的扰动量 去乘以 D 除以 D’的 n 次方 也就是说 当 D 除以 D’小于 1 的话 那最终 n 个周期以后的电感 电流扰动量是趋向于零 而如果 D 除以 D’是大于 1 的话 那最终的电感扰动量是无穷大的 也就是说 当 D 小于 0.5 的时候 也就是 D 除以 D’小于 1 的时候 最终的电感电流扰动量是无穷大的 也就是说系统会引起不稳定 从这个公式我们也可以看出 如果不加斜坡补偿的时候 它的占空比如果大于 0.5 的话 它的系统就会引起不稳定 从这个图中我们很容易地可以看出 当占空比是 0.6 的话 也就是 α D 除以 D’是 1.5 也就是绝对值是大于1的 我们可以看一下 我们可以看一下 它每一个周期以后的一个 电感扰动量是逐渐被放大的 到 n 个周期以后 它的电感扰动量会变得无穷大 也就是说此时的电感会发生震荡不稳定 这是占空比在三分之一的情况下 当占空比是三分之一的时候 α D 除以 D’绝对值是 0.5 我们可以看到 当每个周期以后的扰动量 其实是不断不断地在减小 也就是说 当在 n 个周期以后 它的扰动量是不存在的 电感趋于稳定的工作状态 我们可以再看一下 当有斜率补偿时候的一个 当有斜率补偿时候的一个 计算公式和电感电流波形 ic 这条曲线就是通过误差放大器 所输出的一个电流控制信号 ia 就是谐波补偿电流 ic 减去 ia 其实就是形成了一个 负斜率的一个波形 每当电感电流上升时候 触碰到这个频率的时候 我就进行关断 电感电流进行放电 所以在叠加了负斜率的 电流补偿信号时候 我们可以得出 下面的公式是这样的 同样的 我们可以去看 当初始值增加了一个电流扰动量的时候 我的计算公式是变成如下的情况 会在原先的斜率上补偿一个 ma 的斜率 这个是推导出在 n 周期以后 电感的扰动量 和初始扰动量的一个关系 这个时候 这个时候 这是推算出在 n 个周期以后 电感电流的扰动量 和初始扰动量的一个对应关系 它里面变成了 m2-ma m1+m2 的 n 次方 也就是说 当 m2-ma 比上 m1+m2 这个值 如果是小于 1 的话 也就是说最终的扰动量会趋向于零 否则会趋向于无穷大 所以在这个时候 我们只要保证 m2-ma 小于 m1+ma 就可以了 这样我们可以保证 整个公式它是小于 1 的 举个例子 如果当 ma 取到 0.5 的时候 也就是说 这个公式是一定小于 1 的 所以当我们把这个谐波补偿的斜率 取到零点五倍的 m2 的时候 此时 α 的绝对值是一定小于 1 的 也就是说 这样我在任何占空比下面 都能保持稳定 大家看一下 这是我们考虑了扰动量和谐波补偿 之后的一个电流模式的小信号模型 它主要是包括这几部分组成 第一个就是我的驱动极 驱动极前面我们同过三端子的 一个推导方式 推导出来的一个等效电路图 还有它包括了电流环 还有电压环 在电流环里面包括这几部分 一个就是谐波补偿的传递函数 还有一个就是 从控制端到电感电流的传递函数 还包括了反馈端电流采样的一个传递函数 就是 Fi 电压环里面也是包括了 谐波补偿的一个传递函数 再加上控制端到输出电压的一个传递函数 再加上反馈端的一个传递函数 所以组成了一个 比较精确的并且复杂的一个 电流模式小信号模型 这个是两个环路的框图化 它其实就是 大的一个电压环里面 嵌套了一个小的电流环 所以它里面有两个状态方程 一个就是电流环 还有一个就是电压环的状态方程 电流环里面就是 电流采集的状态方程去乘上 从控制端到电感电流的传递函数 再去乘上谐波补偿的一个传递函数 电压环就是反馈网络的传递函数 去乘以谐波补偿的传递函数 再去乘以控制端到输出电压的传递函数 所以整的一个环路 其实就是电压环路去除以 1 加上电流环路 这个是我们通过刚才的小信号的模型 来推导出的几个传递函数 这个是我的控制端到 输出电压端的一个传递函数 它其实就是 Vout 去除以占空比 得出的一个传递函数 接下去就是电流环路里面 从控制端到电感电流的一个传递函数 他就是 iL 去除以 D 其实这个也很容易推导 它其实就是通过基尔霍夫定律 就是通过整个环路上面 电压的代数和等于零 然后推导出一个关系式 然后把里面相应的 电感电流去除以 D 或者拿输出电压去除以 D 这样就可以推导出相应的算式了 大家有空的时候 可以自己去推导一下计算一下 这个是电压环路里面 反馈端的一个传递函数 这个在前面也讲到 它其实就是电阻的一个反馈系数 再去乘上误差放大器的 补偿网络的传递函数 所以我们可以得出一个电压环 里面的一个反馈端的传递函数 电流环里面其实就是通过 采样电流的一个放大器的一个增益值 再去乘上放大器的一个传递函数 这样也可以得出电流环里面 反馈端的一个传递函数 所以这是一个真正的电流模型的 一个总的传递函数 它其实就是 电流环和电压环 两个传递函数所组成的 电流环里面其实包含了这三个传递函数 电压环其实也是包含了三个 它们的里面都是包含了 谐波补偿的传递函数 所以在整个的闭环的传递函数上面 它其实不是一个一阶的 它其实是一个多阶的一个传递函数 所以实际上的一个电流型的 控制系统它其实还是比较复杂的 不是传统意义上所讲的是一个一阶系统 所以当我们想要去精确的分析一个 电流环的时候 我们最好去使用 Mathcad 或者说 Mathcad 来做精确的建模 或者说平时可以使用 TI 的 WEBENCH 来仿真 模拟你的系统设计 最好的就是使用 稳态分析仪去实际测试一下 电路上面的波特图 来了解它的一个稳定性