快速傅立叶变换及加窗函数

你好 欢迎参加 TI 高精密实验室 本章节是 ADC 频率响应的延续 重点讨论快速傅立叶变换和加窗函数 这两个公式展示的是傅立叶变换 和快速傅里叶变换之间的区别 傅立叶变换就是用公式 将时域信号转化为频率的公式的表示方法 而快速傅立叶变换 就是 FFT 的目标 是有效的将离散的时域信号 转化为频域的数值 FFT 用于计算离散的数据 通常用于 ADC 采样值的计算 在此不做更多的数学方面的讨论 因为有专门的书籍讨论如何设计 FFT 重要的一点基本知识就是 N 个点的时域信号 会转化为 N 个点的频域信号 后续会举一些例子来详细的描述 FFT 以加深理解 这幅图片展示了时域 和对应 FFT 频域的信号 首先 计算 FFT 需要假设时域信号无限延伸 图中16个点的时域信号需要无穷的重复 第二个 时域和频域 得到的点数是相同的 例如例子中的时域16个点 所以频域也可以得到16个点 FFT 里面包含一个镜像 高于采样率一半的区间都是镜像频率 镜像频率是冗余的 所以一般都隐藏起来 最后 FFT 分辨率等于采样率除以采样点数 分辨率体现在 FFT 能侦测到的最小频率变化 例如 1M 的采样率，16个点 分辨率是 62kHz 所以此处两个 FFT 点之间的间隔是 62k 镜像频率区间 就是信号频率的折叠 例如输入一个方波 方波有一些奇次谐波 可以在镜像频率区间内 看到这些奇次谐波的排列顺序 举个例子来计算 FFT 如果采样率为 1M 采样16个点 分辨率就是 62.5kHz 点和点之间的时间间隔是一个1us 输入信号125kHz的正弦波的话 将这个信号做 FFT 可以得到频谱中的频点 在频谱中 125 kHz是第二个点 刚好是整数 如果不是整数会复杂一些 我们将在后面讨论 再比如输入 187.5kHz 刚好是分辨率的三倍 所以频率就是频谱中的第三个点 如果不是整数会发生什么呢 如果输入频率不是分辨率的整数倍 将会发生频谱泄露 例如输入 180kHz 计算为分辨率的2.88倍 不是三倍 不是三倍 从频谱图中可以看出 第三个点和周围的点都有幅度 这种现象就叫频谱泄露 频谱泄露是有问题的 因为很难区分临近的是噪声还是信号 加窗可以解决这个问题 理想的 FFT 需要无限长的时域信号 而实际的信号总是有限个点数的 FFT 将有限的点数无穷的复制 如果时域的点刚好包含时域波型的周期 那么可以完美的无限复制 但如果不是刚好一个周期 复制的时候就会产生不连续的点 这些不连续的点就会产生频谱泄露 解决的办法就是时域加窗 所加的窗将时域信号的两端归零 如下图所示 这样无限复制的时候就不会产生不连续 因为信号都是零 这样可以将频谱泄露降到最低 所加的窗的频谱响应类似于带通滤波器 窗口的主瓣通过基频 而旁瓣将泄漏的频谱衰减 图中显示了几种不同加窗函数的频率特性 理想情况下主瓣类似带通 应该让信号完全通过 旁瓣对应阻带 应该有很高的衰减值 实际上两者是不可兼得的 阻带衰减多的通带会比较宽 对于 ADC 来说 宽的通带不是问题 所以 Seven-term Blackman Harris Window 这个窗 可以获得较低的频谱泄露 FFT 加窗应用广泛 不但用于 ADC 还有很多不同的应用场景 对应不同的加窗函数 上面这个表格列举了一些典型的应用 对应的加窗函数是专门优化的 例如 Uniform Window 适合于白噪声测量 加窗函数修改了采样点的幅度和频率响应 所以会带来对应的误差 这个表格总结了这样的误差 大多数情况软件会修正这些误差 比如我们的评估版软件也做了这样的修正 可以看到有很多误差源 计算误差会导致 SNR 的下降 是因为信号展宽了 所以需要使用一个修正值 来修正 SNR 计算误差 假设测量频率落在频谱的正中间 但有时候不一定输入信号和频谱分辨率对应 扇形误差修正了测试频率落在 两条谱线之间时候的误差 最坏的情况下的误差包含了以上两种误差 用于评估由于加窗导致的 SNR 下降的最坏情况 好的 本章节就到这里 你也可以通过测验题来提高您对这个章节的理解